Vrijednost opcija može biti težak posao. Razmislite o sljedećem scenariju: U siječnju 2015. godine, dionice IBM-a trgovale su se po 155 USD i očekivali ste da će u sljedećoj godini porasti. Namjeravate kupiti opciju poziva na IBM dionici s ATM udarnom cijenom od 155 USD, očekujući da će imati koristi od visokog postotnog povrata, temeljenog na malom opcijskom trošku (opcija opcija), u usporedbi s kupnjom dionica s visokom kupoprodajnom cijenom.
Koja bi trebala biti fer vrijednost ove opcije poziva na IBM-u?
Danas je na raspolaganju nekoliko različitih gotovih metoda za vrednovanje opcija - uključujući Black-Scholes-ov model i model binomnog stabla - koji mogu dati brze odgovore. Ali koji su temeljni faktori i pokretački koncepti da se dođe do takvih modela vrednovanja? Može li se pripremiti nešto slično, temeljeno na konceptu ovih modela?
Ovdje smo pokrenuli građevinske blokove, temeljne koncepte i čimbenike koji se mogu koristiti kao okvir za izgradnju modela procjene vrijednosti imovine, kao što su opcije, pružajući uporednu usporedbu s podrijetlom Black-Scholes-a (BS)) model.
Svijet prije crnokosa
Prije Black-Scholes-a široko se slijedio ekvilibrijumski model određivanja cijena kapitala (CAPM). Prinosi i rizici bili su uravnoteženi jedni s drugima, na temelju sklonosti investitora, tj. Očekivalo se da će ulagač visokog rizika biti nadoknađen (potencijalom) većim prinosima u sličnom udjelu.
BS model nalazi svoje korijene u CAPM-u. Prema Fisher Blacku: „Primijenio sam Model određivanja kapitalne imovine na svaki trenutak u životu naloga, za svaku moguću cijenu dionica i vrijednost jamstva.“ Nažalost, CAPM nije mogao ispuniti zahtjev cijene (opcije) jamstva.
Black-Scholes i dalje je prvi model zasnovan na konceptu arbitraže, praveći paradigmu od modela temeljenog na riziku (kao što je CAPM). Ovaj novi BS model razvoja zamijenio je koncept povrata dionica CAPM priznanjem činjenice da će savršeno zaštićeni položaj zaraditi stopa bez rizika. Time su uklonjene varijacije rizika i povrata i uspostavljen koncept arbitraže u kojem se procjene provode na pretpostavkama koncepta koji je neutralan prema riziku - zaštićeni (bez rizika) položaj bi trebao dovesti do stope povrata bez rizika.
Razvoj crnokosa
Započnimo s utvrđivanjem problema, kvantificiranjem i razvojem okvira za njegovo rješenje. Nastavljamo s našim primjerom procjene mogućnosti ATM poziva u IBM-u sa štrajknom cijenom od 155 USD s istekom jedne godine.
Na temelju osnovne definicije opcije poziva, osim ako cijena dionica ne dosegne razinu štrajka, isplata ostaje nula. Ako postavite tu razinu, isplata se linearno povećava (tj. Povećanje jednog dolara u donjem dijelu pružit će isplatu za jedan dolar iz opcije poziva).
Pod pretpostavkom da se kupac i prodavač slože o fer vrijednosti (uključujući nultu cijenu), teorijska fer cijena za ovu opciju poziva bit će:
- Cijena opcije poziva = 0 USD, ako je osnovna <štrajk (crveni graf) Opcija poziva cijena = (ispod - štrajk), ako je ispod> = štrajk (plavi graf)
To predstavlja unutrašnju vrijednost opcije i izgleda savršeno sa stajališta kupca opcije poziva. U crvenoj regiji, i kupac i prodavač imaju fer vrijednost (nulta cijena za prodavatelja, nula isplata kupcu). Međutim, izazov procjenjivanju započinje s plavom regijom, jer kupac ima prednost nad isplatom, dok prodavač trpi gubitak (pod uvjetom da osnovna cijena prijeđe štrajk). Ovdje kupac ima prednost u odnosu na prodavača s nultom cijenom. Cijene moraju biti ne-nule da bi nadoknadili prodavatelja rizik koji preuzima.
U prvom slučaju (crveni grafikon) teoretski, prodavač nula dobiva nultu cijenu i za kupca postoji nulta potencijal otplate (fer oboje). U potonjem slučaju (plavi graf) prodavatelj plaća kupcu razliku između donjeg i štrajka. Rizik prodavatelja proteže se tijekom cijele godine. Na primjer, osnovna cijena dionica može se kretati vrlo visoko (recimo na 200 dolara u roku od četiri mjeseca), a prodavač je dužan platiti kupcu razliku u iznosu od 45 dolara.
Dakle, ono se svodi na:
- Hoće li cijena temeljne vrijednosti preći štrajkačku cijenu? Ako to učini, koliko visoka cijena može ići (jer će to odrediti isplatu kupcu)?
To ukazuje na veliki rizik koji je preuzeo prodavač, što dovodi do pitanja - zašto bi netko prodao takav poziv, ako ne dobije ništa za rizik koji preuzima?
Naš je cilj postići jednu cijenu koju prodavač treba platiti kupcu, što mu može nadoknaditi sveukupni rizik koji preuzima u roku od godinu dana - kako u nultom području plaćanja (crvena) tako i u regiji linearnog plaćanja (plava), Cijena bi trebala biti fer i prihvatljiva kako za kupca tako i za prodavatelja. Ako ne, onda onaj tko je u nepovoljnom položaju u pogledu plaćanja ili primanja nepoštene cijene neće sudjelovati na tržištu, čime će poraziti svrhu trgovačkog posla. Black-Scholes model ima za cilj uspostaviti tu fer cijenu uzimajući u obzir konstantno variranje cijena dionica, vremensku vrijednost novca, štrajk opcije i vrijeme do isteka opcije. Slično kao u BS modelu, pogledajmo kako možemo pristupiti da to procijenimo na primjeru pomoću vlastitih metoda.
Kako procijeniti unutarnju vrijednost u plavoj regiji?
Dostupno je nekoliko metoda za predviđanje očekivanog kretanja cijena u budućnosti tijekom određenog vremenskog okvira:
- Može se analizirati slična kretanja cijena istog trajanja u nedavnoj prošlosti. Povijesna cijena zatvaranja IBM-a pokazuje da je u protekloj godini (2. siječnja 2014. do 31. prosinca 2014.) cijena pala na 160, 44 USD sa 185, 53 USD, pad od 13, 5%. Možemo li zaključiti kretanje cijena od -13, 5% za IBM? Daljnja detaljna provjera pokazuje da je dosegao godišnji maksimum od 199, 21 USD (10. travnja 2014.) i godišnji minimum od 150, 5 USD (16. prosinca 2014). Promjena postotka se temelji na početnom danu, 2. siječnja 2014., i cijeni zatvaranja od 185, 53 dolara, a kreće se od + 7, 37% do -18, 88%. Sada je raspon varijacija mnogo širi u odnosu na ranije izračunati pad od 13, 5%.
Slične analize i zapažanja o povijesnim podacima mogu se nastaviti. Za nastavak razvoja modela cijena, pretpostavimo ovu jednostavnu metodologiju za mjerenje budućih varijacija cijena.
Pretpostavimo da IBM svake godine raste za 10% (na temelju povijesnih podataka za posljednjih 20 godina). Osnovna statistika pokazuje da će vjerojatnost promjene IBM-ove cijene dionica koje se kreću oko + 10% biti mnogo veća od vjerojatnosti da IBM-ova cijena poraste za 20% ili padne za 30%, pod pretpostavkom da se povijesni obrasci ponavljaju. Prikupljanjem sličnih povijesnih podataka s vrijednostima vjerojatnosti, ukupni očekivani povrat IBM-ove cijene dionica u jednogodišnjem vremenskom okviru može se izračunati kao ponderirani prosjek vjerojatnosti i pridruženi povrat. Na primjer, pretpostavimo da povijesni podaci o IBM-u pokazuju sljedeće poteze:
- (-10%) u 25% puta, + 10% u 35% puta, + 15% u 20% puta, + 20% u 10% puta, + 25% u 5% puta i (-15%) u 5% puta.
Dakle, ponderirani prosjek (ili očekivana vrijednost) dolazi do:
(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 15% * 5%) / 100% = 6, 5%
To će reći, u prosjeku se očekuje da će se cijena IBM-ovih dionica vratiti godišnje + 6, 5% za svaki dolar. Ako netko kupi IBM dionice s jednogodišnjim horizontom i kupoprodajnom cijenom od 155 USD, može se očekivati neto povrat od 155 * 6, 5% = 10, 075 USD.
Međutim, ovo je za povrat dionica. Moramo potražiti slične očekivane prihode za opciju poziva.
Na temelju nulte otplate poziva ispod štrajka (postojeći 155 USD - ATM poziv), svi negativni potezi će generirati nulti otplatu, dok će svi pozitivni pomaci iznad štrajka generirati ekvivalentnu isplatu. Očekivani povrat za opciju poziva bit će:
(-0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 0 % * 5%) / 100% = 9, 75%
Odnosno, za svakih 100 dolara uloženih u kupnju ove opcije može se očekivati 9, 75 USD (na temelju gornjih pretpostavki).
Međutim, to i dalje ostaje ograničeno na fer procjenu svojstvenog iznosa opcije i ne obuhvaća ispravno rizik koji snosi opcionalni prodavatelj zbog velikih ljuljački koji se mogu pojaviti u međuvremenu (u slučaju gore navedenih visokih i niskih unutar godina cijena). Kakva se cijena, osim unutarnje vrijednosti, može složiti s kupcem i prodavateljem, tako da je prodavatelj pošteno nadoknađen za rizik koji preuzima jednogodišnji vremenski okvir?
Ove ljuljačke mogu se jako razlikovati i prodavač može imati svoje tumačenje koliko želi za to dobiti naknadu. Black-Scholes model pretpostavlja europske mogućnosti, tj. Nema vježbanja prije isteka roka. Dakle, na promjene na promjenama cijena ne utječu posredni oscilacije cijena i njihovo vrednovanje temelji se na danima od početka do kraja trgovanja.
U trgovanju u stvarnim danima ova volatilnost igra važnu ulogu u određivanju opcijskih cijena. Plava funkcija otplate koju obično vidimo zapravo je isplata na datum isteka. Realno, opcija opcije (ružičasti grafikon) je uvijek viša od isplate (plavi graf), što ukazuje na cijenu koju je prodavatelj uzeo da nadoknadi svoje sposobnosti preuzimanja rizika. Zato je i opcija opcije poznata i kao opcija „premija“ - u osnovi ukazuje na premiju za rizik.
To može biti uključeno u naš model procjene, ovisno o tome koliko se volatilnost očekuje u cijeni dionica i koliko očekivana vrijednost koja bi donijela.
Black-Scholes model to radi (naravno, unutar vlastitih pretpostavki) na sljedeći način:
C = S × N (d1) -X × e-RTN (d2)
BS model pretpostavlja logičku raspodjelu kretanja cijena dionica, što opravdava uporabu N (d1) i N (d2).
- U prvom dijelu S označava trenutnu cijenu dionica. N (d1) ukazuje na vjerojatnost trenutnog kretanja cijena dionica.
Ako ova opcija dobije novac koji omogućuje kupcu da iskoristi ovu opciju, on će dobiti jednu dionicu temeljne IBM dionice. Ako trgovac to iskoristi danas, tada S * N (d1) predstavlja očekivanu vrijednost opcije današnjeg dana.
U drugom dijelu X označava štrajk cijene.
- N (d2) predstavlja vjerojatnost da će cijena dionica biti veća od štrajkaške cijene. S X * N (d2) predstavlja očekivanu vrijednost cijene dionica koja ostaje iznad štrajka cijene.
Budući da model Black-Scholes pretpostavlja opcije europskog stila u kojima je vježbanje moguće samo na kraju, očekivanu vrijednost predstavljenu gore s X * N (d2) treba diskontirati zbog vremenske vrijednosti novca. Stoga se posljednji dio množi s eksponencijalnim pojmom koji se podiže na kamatnu stopu tijekom vremenskog razdoblja.
Neto razlika dvaju termina ukazuje na vrijednost cijene opcije od danas (pri čemu se drugi termin diskontira)
U našem okviru, takva kretanja cijena mogu se preciznije uključiti na više načina:
- Daljnje usavršavanje izračuna očekivanog povrata proširivanjem raspona na finije intervale kako bi se uključivalo kretanje cijena unutar dana / unutar godine Uključivanje podataka o današnjem tržištu jer odražava aktivnosti tekućeg dana (slično kao podrazumijevana volatilnost) Očekivani prinosi na datum isteka, koji mogu se diskontiraju do današnjeg dana za realne procjene i dodatno umanjuju od današnje vrijednosti
Stoga vidimo da nema ograničenja u pretpostavkama, metodologijama i prilagodbama koje se odabiru za kvantitativne analize. Ovisno o imovini kojom se trguje ili investiranju koja se treba razmotriti, može se raditi na samorazvijenom modelu. Važno je napomenuti da volatilnost kretanja cijena različitih razreda imovine jako varira - dionice imaju nagib volatilnosti, forex ima namrštenost volatilnosti - a korisnici bi u svoje modele trebali uključiti primjenjive obrasce volatilnosti. Pretpostavke i nedostaci sastavni su dio svakog modela i razumna primjena modela u scenarijima trgovanja u stvarnom svijetu može dati bolje rezultate.
Donja linija
Sa složenom imovinom koja ulazi na tržište ili čak s običnom imovinom vanilije koja ulazi u složene oblike trgovanja, kvantitativno modeliranje i analize postaju obvezni za vrednovanje. Nažalost, nijedan matematički model ne dolazi bez niza nedostataka i pretpostavki. Najbolji je pristup smanjiti pretpostavke na minimum i biti svjestan impliciranih nedostataka koji mogu pomoći u crtanju crta korištenja i primjenjivosti modela.
