Razumijevanje modela određivanja cijena binomnih opcija

Određivanje cijena dionica

Dogovoriti se točne cijene bilo koje trgovačke imovine je izazovno - zato se cijene dionica stalno mijenjaju. U stvarnosti, tvrtke teško mijenjaju svoje procjene svakodnevno, ali cijene i procjene cijena dionica mijenjaju se gotovo svake sekunde. Ova poteškoća u postizanju konsenzusa o ispravnom određivanju cijena bilo koje trgovačke imovine dovodi do kratkotrajnih arbitražnih prilika.

Ali puno uspješnog ulaganja svodi se na jednostavno pitanje današnje procjene - koja je danas prava cijena za očekivano buduće otplatu?

Vrednovanje binarnih opcija

Na konkurentnom tržištu, kako bi se izbjegle arbitražne mogućnosti, sredstva s identičnim strukturama otplate moraju imati istu cijenu. Procjena opcija je bila izazovan zadatak, a varijacije u cijenama vode do arbitražnih prilika. Black-Scholes ostaje jedan od najpopularnijih modela koji se koristi za mogućnosti određivanja cijena, ali ima ograničenja.

Model binomne opcije je još jedna popularna metoda koja se koristi za opcije određivanja cijena.

Primjeri

Pretpostavimo da na određenoj dionici postoji opcija poziva s trenutnom tržišnom cijenom od 100 USD. Opcija at-the-money (bankomat) ima štrajkačku cijenu od 100 USD s vremenom koji ističe do jedne godine. Postoje dva trgovca, Peter i Paula, koji su se složili da će cijena dionica ili porasti na 110 USD ili pasti na 90 USD u jednoj godini.

Oni se slažu o očekivanim razinama cijena u zadanom vremenskom okviru od jedne godine, ali ne slažu se s vjerojatnošću kretanja prema gore ili dolje. Peter vjeruje da je vjerojatnost da će cijena dionica ići na 110 dolara 60%, dok Paula vjeruje da je 40%.

Na temelju toga, tko bi bio spreman platiti više cijene za poziv? Eventualno Peter, jer očekuje veliku vjerojatnost uspona.

Izračuni binomnih opcija

Dvije imovine, o kojima procjena ovisi, su opcija poziva i temeljni stalež. Među sudionicima postoji dogovor da se temeljna cijena dionica može premjestiti sa sadašnjih 100 na 110 ili 90 dolara u jednoj godini i nisu moguća druga kretanja cijena.

U svijetu bez arbitraže, ako morate stvoriti portfelj koji se sastoji od ove dvije imovine, opcije poziva i temeljnih dionica, tako da bez obzira na to gdje ide osnovna cijena - 110 ili 90 dolara - neto povrat portfelja uvijek ostaje isti, Pretpostavimo da ste kupili "d" dionice osnovnih i kratkih opcija za jedan poziv da biste stvorili ovaj portfelj.

Ako cijena prijeđe na 110 USD, vaše će dionice vrijediti $ 110 * d, a izgubit ćete 10 USD na isplati za kratki poziv. Neto vrijednost vašeg portfelja bit će (110d - 10).

Ako cijena padne na 90 USD, vaše će dionice vrijediti $ 90 * d, a opcija istječe bezvrijedno. Neto vrijednost vašeg portfelja bit će (90d).

$\begin{matrix} h (d) - m = l (d) \\ gdje: \\ h = Najveća potencijalna temeljna cijena \\ d = Broj temeljnih dionica \\ m = Novac izgubljen na isplati za kratke pozive \\ l = Najniža potencijalna temeljna cijena \end{matrix} \ početak {usklađeno} & h (d) - m = l (d) \ & \ textbf {gdje:} \ & h = \ tekst {Najveća potencijalna temeljna cijena} \ & d = \ tekst {Broj temeljnih dionica} \ & m = \ text {Novac izgubljen na isplati za kratke pozive} \ & l = \ text {Najniža potencijalna osnovna cijena} \ \ kraj {usklađeno}$ H (d) −m = l (d) gdje je: h = najveća potencijalna temeljna cijena = broj temeljnih dionicam = novac izgubljen na isplati za kratki poziv = najniža potencijalna temeljna cijena

Dakle, ako kupite pola udjela, pod pretpostavkom da su moguće djelomične kupnje, uspjet ćete stvoriti portfelj tako da njegova vrijednost ostane ista u oba moguća stanja unutar određenog vremenskog okvira od jedne godine.

$\begin{matrix} 110 d - 10 = 90 d \\ d = \frac{1}{2} \end{matrix} \ početak {poravnano} & 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \ \ kraj {poravnato}$ 110d-10 = 21 = 90dd

Vrijednost ovog portfelja, naznačena s (90d) ili (110d - 10) = 45, jedna je godina prijenosa. Da bi se izračunala njegova sadašnja vrijednost, ona se može diskontirati neto stopom povrata (pretpostavljajući 5%).

$\begin{matrix} Sadašnja vrijednost & = 90 d \times e^{(- 5 % \times 1 Godina)} \\ = 45 \times 0, 9523 \\ = 42, 85 \end{matrix} \ početak {poravnanje} tekst {sadašnja vrijednost} & = 90d \ puta e ^ {(-5 \% \ puta 1 \ tekst {godina})} \ & = 45 \ puta 0.9523 \\ & = 42.85 \\ \ kraj {usklađeni}$ Sadašnja vrijednost = 90d × e (−5% × 1 godina) = 45 × 0.9523 = 42.85

Budući da se portfelj trenutno sastoji od ½ udjela temeljnog udjela (s tržišnom cijenom od 100 USD) i jednim kratkim pozivom, trebao bi biti jednak sadašnjoj vrijednosti.

$\begin{matrix} \frac{1}{2} \times 100 - 1 \times Cijena poziva = $ 42, 85 \\ Cijena poziva = $ 7, 14, tj. današnju cijenu poziva \end{matrix} \ početak {usklađeno} & \ frac {1} {2} puta 100 - 1 \ puta \ tekst {Cijena poziva} = \ 42, 85 $ \\ & \ tekst {Cijena poziva} = \ 7, 14 $ \ tekst {, tj. cijena poziva od danas} \ \ kraj {usklađeno}$ 21 × 100−1 × Cijena poziva = 42, 85 USDCall Price = 7, 14 USD, tj. Današnja cijena poziva

Budući da se to temelji na pretpostavci da vrijednost portfelja ostaje ista, bez obzira na to kojim putem ide osnovna cijena, vjerojatnost pomicanja prema gore ili pomaka prema dolje ne igra nikakvu ulogu. Portfelj ostaje bez rizika, bez obzira na osnovne promjene cijena.

U oba slučaja (pretpostavlja se da se kreću prema 110 USD i prema dolje na 90 USD) vaš portfelj je neutralan prema riziku i ostvaruje prinos bez rizika.

Dakle, i trgovci, Peter i Paula, bili bi spremni platiti istu 7, 14 USD za ovu opciju poziva, unatoč različitoj percepciji vjerojatnosti povećanja (60% i 40%). Njihove pojedinačno uočene vjerojatnosti nisu bitne za procjenu opcija.

Pretpostavljajući da su pojedinačne vjerojatnosti važne, mogućnosti arbitraže su se možda same predstavile. U stvarnom svijetu takve mogućnosti arbitraže postoje uz manje razlike u cijenama i nestaju u kratkom roku.

Ali gdje je sve hipertibilnost u svim tim proračunima važan i osjetljiv faktor koji utječe na cijene opcija?

Volatilnost je već uključena u prirodu definicije problema. Pod pretpostavkom da su dva (i samo dva - otuda i naziv „binomna“) nivoa cijena (110 USD i 90 USD), volatilnost se podrazumijeva u ovoj pretpostavci i uključuje se automatski (10% u bilo kojem slučaju u ovom primjeru).

Black-Scholes

No, je li ovaj pristup ispravan i koherentan s uobičajenim cijenama Black-Scholesa? Rezultati kalkulatora opcija (ljubaznošću OIC-a) usko se podudaraju s izračunatom vrijednošću:

Nažalost, stvarni svijet nije tako jednostavan kao „samo dvije države.“ Zalihe mogu dostići nekoliko razina cijena prije isteka vremena.

Je li moguće uključiti sve ove više razine u model binomnih cijena koji je ograničen na samo dvije razine? Da, to je vrlo moguće, ali za razumijevanje je potrebna jednostavna matematika.

Jednostavna matematika

Da biste generalizirali ovaj problem i rješenje:

"X" je trenutna tržišna cijena dionica, a "X * u" i "X * d" su buduće cijene za kretanje prema gore i dolje "t" godinama kasnije. Faktor "u" bit će veći od jedan jer označava pomicanje prema gore, a "d" će ležati između nule i jednog. Za gornji primjer, u = 1.1 i d = 0.9.

Isplate opcije poziva su "P _up " i "P _dn " za poteze prema gore i dolje u trenutku isteka.

$\begin{matrix} VUM = a \times x \times u - P_{gore} \\ gdje: \\ VUM = Vrijednost portfelja u slučaju pomaka nagore \end{matrix} \ početak {poravnanje} & \ tekst {VUM} = s \ puta X \ puta u - P_ \ tekst {gore} \ & \ textbf {gdje:} \ & \ tekst {VUM} = \ tekst {Vrijednost portfelja u slučaju pomicanja prema gore} \ \ kraj {usklađeno}$ VUM = s × X × u − Pup gdje: VUM = Vrijednost portfelja u slučaju pomicanja prema gore

$\begin{matrix} VDM = a \times x \times d - P_{dolje} \\ gdje: \\ VDM = Vrijednost portfelja u slučaju pada \end{matrix} \ početak {poravnanje} & \ tekst {VDM} = s \ puta X \ puta d - P_ \ tekst {dolje} \ & \ textbf {gdje:} \ & \ tekst {VDM} = \ tekst {Vrijednost portfelja u slučaju pomicanja prema dolje} \ \ end {usklađeno}$ VDM = s × X × d − Pdown gdje: VDM = Vrijednost portfelja u slučaju pomicanja prema dolje

Za slično vrednovanje u oba slučaja kretanja cijena:

$a \times x \times u - P_{gore} = a \times x \times d - P_{dolje} s \ puta X \ puta u - P_ \ tekst {up} = s \ puta X \ puta d - P_ \ tekst {dolje}$ a X × × u-Pup = X × × s D-Pdown

$\begin{matrix} a & = \frac{P_{gore} - P_{dolje}}{x \times (u - d)} \\ = Broj dionica za kupnju \\ portfelj bez rizika \end{matrix} \ početak {usklađeno} s & = \ frac {P_ \ tekst {gore} - P_ \ tekst {dolje}} {X \ puta (u - d)} \ & = \ tekst {Broj dionica za kupnju} \ & \ phantom {=} tekst {portfelj bez rizika} \ \ kraj {usklađeno}$ s = X × (u − d) Pup −Pdown = Broj dionica za kupnju = portfelj bez rizika

Buduća vrijednost portfelja na kraju "t" godina bit će:

$\begin{matrix} U slučaju pomicanja & = a \times x \times u - P_{gore} \\ = \frac{P_{gore} - P_{dolje}}{u - d} \times u - P_{gore} \end{matrix} \ početak {usklađeno} tekst {U slučaju pomicanja prema gore} & = s \ puta X \ puta u - P_ \ tekst {gore} \ & = \ frac {P_ \ tekst {gore} - P_ \ tekst {dolje} } {u - d} puta u - P_ \ tekst {gore} \ \ kraj {poravnano}$ U slučaju premještanja = s × X × u − Pup = u − dPup −Pdown × u − Pup

$\begin{matrix} U slučaju Down Move & = a \times x \times d - P_{dolje} \\ = \frac{P_{gore} - P_{dolje}}{u - d} \times d - P_{dolje} \end{matrix} \ početak {poravnanje} tekst {U slučaju pomicanja prema dolje} & = s \ puta X \ puta d - P_ \ tekst {dolje} \ & = \ frac {P_ \ tekst {gore} - P_ \ tekst {dolje} } {u - d} puta d - P_ \ tekst {dolje} \ \ kraj {poravnano}$ U slučaju kretanja prema dolje = s × X × d − Pdown = u − dPup −Pdown × d − Pdown

Današnju vrijednost možete dobiti diskontiranjem s netriziranom stopom povrata:

$\begin{matrix} PV = e (- r t) \times \\ gdje: \\ PV = Vrijednost sadašnjeg dana \\ r = Stopa povrata \\ t = Vrijeme, u godinama \end{matrix} \ početak {poravnanje} & \ tekst {PV} = e (-rt) puta \ lijevo \\ & \ textbf {gdje:} \ & \ tekst {PV} = \ tekst {Vrijednost današnjeg dana} \ & r = \ tekst {Stopa povrata} \ & t = \ tekst {Vrijeme, u godinama} \ \ kraj {poravnano}$ PV = e (−rt) × gdje: PV = vrijednost današnjeg vrijednosti = stopa povratka = vrijeme, u godinama

To bi trebalo odgovarati portfelju držanja "s" dionica po cijeni X, a vrijednost kratkog poziva "c" (današnja vrijednost (s * X - c) trebala bi se izjednačiti s ovim izračunom.) Rješavanje za "c" konačno daje kao:

Napomena: Ako je premija poziva smanjena, to bi trebao biti dodatak portfelju, a ne oduzimanje.

$c = \frac{e (- r t)}{u - d} \times c = \ frac {e (-rt)} {u - d} puta$ c = u-de (-rt) x

Drugi način za pisanje jednadžbe je preuređenjem:

Uzimajući "q" kao:

$q = \frac{e (- r t) - d}{u - d} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u-de (-rt) -D

Tada jednadžba postaje:

$c = e (- r t) \times (q \times P_{gore} + (1 - q) \times P_{dolje}) c = e (-rt) puta (q \ puta P_ \ tekst {up} + (1 - q) puta P_ \ tekst {dolje})$ c = e (-rt) x (q × Pup + (1 q) × Pdown)

Preuređenje jednadžbe u smislu "q" ponudilo je novu perspektivu.

Sada možete protumačiti "q" kao vjerojatnost pomicanja prema gore (jer "q" je povezan s P _up, a "1-q" je povezan s P _dn). Sveukupno, jednadžba predstavlja današnju opcijsku cijenu, diskontiranu vrijednost njezinog otplate po isteku roka.

Ovaj "Q" je drugačiji

Kako se ta vjerojatnost "q" razlikuje od vjerojatnosti pomicanja prema gore ili dolje prema dolje?

$\begin{matrix} VSP = q \times x \times u + (1 - q) \times x \times d \\ gdje: \\ VSP = Vrijednost cijene dionica na vrijeme t \end{matrix} \ početak {poravnanje} & \ tekst {VSP} = q \ puta X \ puta u + (1 - q) puta X \ puta d \\ & \ textbf {gdje:} \ & \ tekst {VSP} = \ tekst {Vrijednost cijene dionice u vremenu} t \\ \ kraj {usklađeno}$ VSP = q × X × u + (1 − q) × X × drugdje: VSP = Vrijednost dionica u vremenu t

Zamjenom vrijednosti „q“ i preuređivanjem, cijena dionica u trenutku „t“ dolazi do:

$\begin{matrix} Cijena dionica = e (r t) \times x \end{matrix} \ početak {poravnanje} & \ tekst {Cijena dionice} = e (rt) puta X \\ \ kraj {usklađeno}$ Cijena dionice = e (rt) × X

U ovom pretpostavljenom svijetu dviju država, cijena dionica jednostavno raste po prinosu bez rizika, točno poput sredstva bez rizika, i stoga ostaje neovisna o bilo kojem riziku. Ulagači su ravnodušni prema riziku prema ovom modelu, tako da to predstavlja model neutralan prema riziku.

Vjerojatnost „q” i „(1-q)” poznata su kao vjerojatnosti neutralne prema riziku, a metoda vrednovanja poznata je i kao model procjene neutralnog rizika.

Primjer scenarija ima jedan važan zahtjev - buduća struktura isplativanja potrebna je s preciznošću (razina 110 i 90 USD). U stvarnom životu takva jasnoća glede stupnjevanih razina cijena nije moguća; radije se cijena kreće nasumično i može se namiriti na više razina.

Da biste primjer dodatno proširili, pretpostavite da su moguće razine cijena u dva koraka. Znamo konačne isplate drugog koraka i danas moramo cijeniti opciju (u početnom koraku):

Pomičući se unatrag, proredna procjena prvog koraka (pri t = 1) može se izvršiti korištenjem konačnih isplata u drugom koraku (t = 2), zatim korištenjem izračunatih procjena prvog koraka (t = 1), današnjeg vrednovanja (t = 0) ovim proračunima se može postići.

Da biste dobili opcijsku cijenu s brojem dva, koriste se isplate od četiri i pet. Da biste dobili cijene za broj tri, koristi se isplata u pet i šest. Konačno, izračunati otplati na dva i tri koriste se za dobivanje cijena kod broja jedan.

Imajte na umu da ovaj primjer pretpostavlja isti faktor za pomicanje gore (i dolje) u oba koraka - u i d se primjenjuju složeno.

Primjer rada

Pretpostavimo da je put opcija sa štrajknom cijenom od 110 USD trenutno trgovanje na 100 USD, a istječe za godinu dana. Godišnja stopa bez rizika je 5%. Očekuje se da će se cijena povećati za 20% i smanjivati za 15% svakih šest mjeseci.

Ovdje je u = 1, 2 i d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

koristeći gore izvedenu formulu od

$q = \frac{e (- r t) - d}{u - d} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u-de (-rt) -D

dobivamo q = 0, 35802832

vrijednost put opcije u točki 2, $\begin{matrix} p_{2} = e (- r t) \times (p \times P_{Gore gore} + (1 - q) P_{updn}) \\ gdje: \\ p = Cijena opcije opcije \end{matrix} \ početak {poravnanje} & p_2 = e (-rt) puta (p \ puta P_ \ tekst {upup} + (1 - q) P_ \ tekst {updn}) \ & \ textbf {gdje:} \ & p = \ text {Cijena put opcije} \ \ kraj {usklađeno}$ P2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) gdje je: p = Cijena opcije stavke

U P _{upup upingu}, temeljna vrijednost će biti = 100 * 1, 2 * 1, 2 = $ 144, što vodi do P _upup = zero

U P _updn stanju, temeljna vrijednost biti će = 100 * 1, 2 * 0, 85 = 102 USD što dovodi do P _updn = 8 USD

U P _dndn stanju, temeljna vrijednost biti će = 100 * 0, 85 * 0, 85 = 72, 25 USD što vodi do P _dndn = 37, 75 USD

p ₂ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5, 008970741

Slično tome, p ₃ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26, 42958924

$p_{1} = e (- r t) \times (q \times p_{2} + (1 - q) p_{3}) p_1 = e (-rt) puta (q \ puta p_2 + (1 - q) p_3)$ p1 = e (-rt) x (q × p2 + (1 q) P3)

Otuda vrijednost put opcije, p ₁ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741 + (1-0, 35802832) * 26, 42958924) = 18, 29 USD.

Slično tome, binomni modeli omogućuju vam da prekinete cijelo trajanje opcije na daljnje rafiniranje više koraka i nivoa. Pomoću računalnih programa ili proračunskih tablica možete raditi korak unatrag kako biste dobili sadašnju vrijednost željene opcije.

Još jedan primjer

Pretpostavimo da je putna opcija europskog tipa s istekom roka od devet mjeseci, štrajk cijena od 12 USD i trenutna osnovna cijena od 10 USD. Pretpostavimo da postoji stopa rizika od 5% za sva razdoblja. Pretpostavimo da svaka tri mjeseca, osnovna cijena može se kretati 20% prema gore ili prema dolje, što nam daje u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 i binomno stablo u tri koraka.

Crvena označava osnovne cijene, dok plava označava isplatu putnih opcija.

Vjerojatno "q" vjerojatnost izračunava se na 0, 531446.

Koristeći gornju vrijednost „q“ i vrijednosti otplate za t = devet mjeseci, odgovarajuće vrijednosti pri t = šest mjeseci izračunavaju se kao:

Nadalje, koristeći ove izračunate vrijednosti pri t = 6, vrijednosti pri t = 3 i t = 0 su:

To daje današnjoj vrijednosti opcije stavljanja u visinu od 2, 18 USD, što je prilično blizu onome što biste mogli izračunati koristeći Black-Scholes model (2, 30 USD).

Donja linija

Iako upotreba računalnih programa može olakšati ove intenzivne proračune, predviđanje budućih cijena ostaje veliko ograničenje binomnih modela za određivanje cijena opcija. Što su vremenski intervali finiji, to je teže predvidjeti isplate na kraju svakog razdoblja s velikom preciznošću.

No, fleksibilnost za uključivanje promjena koje se očekuju u različitim razdobljima je plus, što ga čini prikladnim za određivanje cijene američkih opcija, uključujući procjene rane vježbe.

Vrijednosti izračunate pomoću binomnog modela usko se podudaraju s onima izračunatim iz drugih najčešće korištenih modela poput Black-Scholes, što ukazuje na korisnost i točnost binomnih modela za određivanje cijena opcija. Modeli binomnih cijena mogu se razviti u skladu s preferencijama trgovca i mogu poslužiti kao alternativa Black-Scholesu.

Sadržaj: