Što je Bayesova teorema?
Bayesova teorema, nazvana po britanskom matematičaru iz 18. stoljeća Thomasu Bayesu, matematička je formula za određivanje uvjetne vjerojatnosti. Teorem pruža način za reviziju postojećih predviđanja ili teorija (ažuriranje vjerojatnosti) s novim ili dodatnim dokazima. U financijama, Bayesov teorem može se koristiti za ocjenu rizika od pozajmljivanja novca potencijalnim zajmoprimcima.
Bayesov teorem se također naziva Bayesovim pravilom ili Bayesovim zakonom i temelj je polja Bayesove statistike.
Ključni odvodi
- Bayesova teorema omogućuje ažuriranje predviđenih vjerojatnosti događaja uključivanjem novih informacija.Bayesova teorema nazvana je po matematičaru iz 18. stoljeća Thomasu Bayesu. Često se koristi u financijama pri ažuriranju procjene rizika.
Formula za Bayesovu teoremu jest
P (A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A) gdje je: P (A) = Vjerojatnost pojaveP (B) = Vjerojatnost pojave BP (A∣B) = Vjerojatnost A datog BP (B∣A) = Vjerojatnost B datog AP (A⋂B)) = Vjerojatnost pojavljivanja A i B
Objasnio je Bayesov teorem
Primjene teorema su raširene i nisu ograničene na financijsko područje. Kao primjer, Bayesov teorem može se koristiti za određivanje točnosti rezultata medicinskih ispitivanja uzimajući u obzir koliko je vjerovatno da će svaka osoba imati bolest i opću točnost testa. Bayesova teorema oslanja se na uključivanje prethodnih raspodjela vjerojatnosti da bi se stvorile posteriorne vjerojatnosti. U Bayesovom statističkom zaključku prethodna je vjerojatnost događaja prije nego što se prikupe novi podaci. Ovo je najbolja racionalna procjena vjerojatnosti ishoda na temelju trenutnih saznanja prije eksperimenta. Posteriorna vjerojatnost je revidirana vjerojatnost nekog događaja koji se dogodio nakon uzimanja u obzir novih informacija. Posteriorna vjerojatnost izračunava se ažuriranjem prethodne vjerojatnosti korištenjem Bayesove teoreme. Statistički gledano, posteriorna vjerojatnost je vjerojatnost događaja A koji se dogodio s obzirom da se dogodio događaj B.
Bayesova teorema stoga daje vjerojatnost događaja na temelju novih informacija koje su ili se mogu povezati s tim događajem. Formula se može koristiti i za utvrđivanje kako na vjerojatnost da se dogodi neki događaj utječe hipotetičkim novim informacijama, pretpostavljajući da će se nova informacija pokazati istinitim. Na primjer, recimo da se jedna karta izvlači iz čitave palube od 52 karte. Vjerojatnost da je karta kralj je 4 podijeljena s 52, što je jednako 1/13 ili otprilike 7, 69%. Sjetite se da u palubi postoje 4 kralja. Pretpostavimo da je otkriveno da je odabrana kartica licna karta. Vjerojatnost da je odabrana karta kralj, s obzirom da se radi o licnoj kartici, 4 je podijeljeno sa 12, odnosno otprilike 33, 3%, jer u palubi ima 12 karata lica.
Izvođenje Bayesove formule teorema s primjerom
Bayesov teorem jednostavno slijedi iz aksioma uvjetne vjerojatnosti. Uvjetna vjerojatnost je vjerojatnost nekog događaja s obzirom da se dogodio drugi događaj. Na primjer, jednostavno pitanje vjerojatnosti može postaviti: "Koja je vjerojatnost pada cijena dionica Amazon.com, Inc., (NYSE: AMZN)?" Uvjetna vjerojatnost postavlja ovo pitanje korak dalje postavljajući pitanje: "Koja je vjerojatnost pada cijena dionica AMZN s obzirom na to da je indeks Dow Jones Industrial Average (DJIA) pao ranije?"
Uvjetna vjerojatnost A s obzirom da se B dogodio može se izraziti kao:
Ako je A: "AMZN cijena pada", tada je P (AMZN) vjerojatnost pada AMZN; a B je: "DJIA je već pala", a P (DJIA) vjerojatnost da je DJIA pala; tada izraz uvjetne vjerojatnosti glasi kao "vjerojatnost pada AMZN-a s obzirom na pad DJIA-e jednaka je vjerojatnosti da AMZN cijena opada, a DJIA opada nad vjerojatnošću smanjenja DJIA indeksa.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN i DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN i DJIA) vjerojatnost pojave i A i B. To je isto što je vjerojatnost pojave A pomnožena s vjerojatnošću da se B dogodi s obzirom da se pojavljuju A, izraženi kao P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Činjenica da su ova dva izraza jednaka dovodi do Bayesove teoreme koja je zapisana kao:
ako je P (AMZN i DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
onda je P (AMZN | DJIA) = / P (DJIA).
Gdje su P (AMZN) i P (DJIA) vjerojatnost pada Amazona i Dow Jonesa, bez obzira na jedno drugo.
Formula objašnjava odnos između vjerojatnosti hipoteze prije uvida u dokaz da je P (AMZN) i vjerojatnosti hipoteze nakon dobivanja dokaza P (AMZN | DJIA), s obzirom na pretpostavku da je Amazon dobio dokaze u Dow-u.
Numerički primjer Bayesove teoreme
Kao numerički primjer, zamislite da postoji test na lijek koji je 98% točan, znači 98% vremena pokazuje istinski pozitivan rezultat za nekoga tko koristi drogu, a 98% vremena pokazuje pravi negativan rezultat za nepušače droga. Dalje, pretpostavite da 0, 5% ljudi koristi drogu. Ako je osoba izabrana na slučajnim testovima pozitivnim za lijek, može se izvršiti sljedeći izračun da bi se vidjelo je li vjerojatnost da je osoba zapravo droga.
(0, 98 x 0, 005) / = 0, 0049 / (0, 0049 + 0, 0199) = 19, 76%
Bayesova teorema pokazuje da, čak i ako je osoba testirala pozitivno u ovom scenariju, zapravo je puno vjerojatnije da ta osoba nije korisnik droge.
