Kontinuirana kamata

Složena kamata je kamata izračunana na početnoj glavnici i na akumuliranu kamatu iz prethodnih razdoblja depozita ili zajma. Učinak složenog interesa ovisi o učestalosti.

Pretpostavimo godišnju kamatnu stopu od 12%. Ako godinu započnemo sa 100 USD, a složeni samo jednom, na kraju godine glavnica raste na 112 USD (100 USD x 1, 12 = 112 USD). Ako umjesto toga svaki mjesec dobijemo 1%, na kraju godine stižemo s više od 112 USD. To jest, 100 $ x 1, 01 ^ 12 na 112, 68 $. (To je veće jer smo se složili češće.)

Kontinuirano sastavljeni vraća spoj, najčešće od svih. Kontinuirano spajanje je matematička granica koju složeni interesi mogu dostići. To je ekstremni slučaj prejedanja jer većina kamata sastoji se mjesečno, tromjesečno ili polugodišnje.

Polugodišnje stope povrata

Prvo, pogledajmo potencijalno zbunjujuću konvenciju. Na tržištu obveznica mislimo na prinos (ekvivalent obveznice). To znači da ako obveznica daje 6% na polugodišnjem nivou, njen prinos u ekvivalentu obveznice je 12%.

Slika Julie Bang © Investopedia 2019

Polugodišnji prinos jednostavno se udvostručuje. Ovo je potencijalno zbunjujuće jer je efektivni prinos 12% -tne obveznice ekvivalentne prinosu 12, 36% (tj. 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Umnožavanje polugodišnjeg prinosa samo je konvencija o imenovanju obveznica. Stoga, ako čitamo o 8% obveznici složenim polugodišnje, pretpostavljamo da se to odnosi na 4% polugodišnji prinos.

Kvartalni, mjesečni i dnevni prinosi

Sada, razgovarajmo o višim frekvencijama. Još uvijek pretpostavljamo 12% godišnje tržišne kamatne stope. Prema konvencijama o imenovanju obveznica, to podrazumijeva 6% polugodišnje stope složenosti. Sada možemo izraziti tromjesečnu složenu stopu kao funkciju tržišne kamatne stope.

Slika Julie Bang © Investopedia 2019

S obzirom na godišnju tržišnu stopu ( r), tromjesečna složena stopa ( r _q) dana je:

$\begin{matrix} r_{q} = 4 \end{matrix} \ početak {poravnanje} & r_q = 4 \ lijevo \\ \ kraj {poravnanje}$ RQ = 4

Dakle, za naš primjer, gdje godišnja tržišna stopa iznosi 12%, tromjesečna složena stopa iznosi 11.825%:

$\begin{matrix} r_{q} = 4 ≅ 11, 825 % \end{matrix} \ početak {poravnano} & r_q = 4 \ lijevo \ Kong 11.825 \% \\ \ kraj {poravnato}$ RQ = 4≅11.825%

Slika Julie Bang © Investopedia 2019

Slična se logika odnosi na mjesečno sažimanje. Mjesečna složena stopa ( r _m ) navedena je ovdje kao funkcija godišnje tržišne kamatne stope ( r):

Dnevna složena stopa ( d) kao funkcija tržišne kamatne stope ( r) dana je:

$\begin{matrix} r_{d} & = 360 \\ = 360 \\ ≅ 11, 66 % \end{matrix} \ početak {poravnanje} r_d & = 360 \ lijevo \\ & = 360 \ lijevo \\ & \ Kong 11, 66 \% \\ \ kraj {usklađeno}$ Rd = 360 =% 360≅11.66

Kako djeluje kontinuirano spuštanje

Slika Julie Bang © Investopedia 2019

Ako povećavamo frekvenciju spoja do njegove granice, kontinuirano se sastavljamo. Iako to možda nije praktično, kontinuirano složena kamatna stopa nudi izuzetno pogodna svojstva. Ispada da kontinuirano složene kamatne stope daju:

$\begin{matrix} r_{c o n t ja n u o u a} = \ln (1 + r) \end{matrix} \ početak {poravnanje} & r_ {kontinuirano} = \ ln (1 + r) \ \ kraj {poravnato}$ rcontinuous = u (1 + r)

Ln () je prirodni dnevnik i u našem primjeru je kontinuirano složen stupanj:

$\begin{matrix} r_{c o n t ja n u o u a} = \ln (1 + 0, 12) = \ln (1, 12) ≅ 11, 33 % \end{matrix} \ početak {poravnanje} & r_ {kontinuirano} = \ ln (1 + 0, 12) = \ ln (1, 12) Kong 11, 33 \% \\ \ kraj {poravnato}$ rcontinuous = u (1 + 0, 12) = u (1.12), % ≅11.33

Do istog mjesta dolazimo uzimajući prirodni zapis ovog omjera: završnu vrijednost podijeljenu s početnom vrijednošću.

$\begin{matrix} r_{c o n t ja n u o u a} = \ln (\frac{{Vrijednost}_{Kraj}}{{Vrijednost}_{Početak}}) = \ln (\frac{112}{100}) ≅ 11, 33 % \end{matrix} \ početak {poravnanje} & r_ {kontinuirano} = \ ln \ lijevo ( frac { tekst {Vrijednost} _ \ tekst {Kraj}} { tekst {Vrijednost} _ \ tekst {Start}} desno) = \ ln \ lijevo ( frac {112} {100} desno) Kong 11.33 \% \\ \ kraj {poravnato}$ rcontinuous = u (ValueStart ValueEnd) = u (100.112) ≅11.33%

Ovo posljednje je uobičajeno za računanje kontinuirano složenih povrata za zalihe. Na primjer, ako dionica skoči s 10 dolara jedan dan na 11 dolara sljedećeg dana, kontinuirani složeni dnevni povrat daje:

$\begin{matrix} r_{c o n t ja n u o u a} = \ln (\frac{{Vrijednost}_{Kraj}}{{Vrijednost}_{Početak}}) = \ln (\frac{$ 11}{$ 10}) ≅ 9, 53 % \end{matrix} \ početak {poravnanje} & r_ {kontinuirano} = \ ln \ lijevo ( frac { tekst {Vrijednost} _ \ tekst {Kraj}} { tekst {Vrijednost} _ \ tekst {Start}} desno) = \ ln \ lijevo ( frac { $ 11} { $ 10} desno) Kong 9.53 \% \\ \ kraj {usklađeno}$ rcontinuous = u (ValueStart ValueEnd) = u (10 $ $ 11) ≅9.53%

Što je tako super u vezi s kontinuirano složenom stopom (ili povratkom) koju ćemo označiti s r _c ? Prvo, lako je skalirati naprijed. S obzirom na glavnicu (P), naše konačno bogatstvo tijekom (n) godina dajemo:

$\begin{matrix} w = P e^{r_{c} n} \end{matrix} \ početak {poravnano} & w = Pe ^ {r_c n} \ \ kraj {poravnato}$ w = Perc n

Imajte na umu da je e eksponencijalna funkcija. Na primjer, ako započnemo sa 100 USD i kontinuirano se povećavamo na 8% tijekom tri godine, konačno bogatstvo daje:

$\begin{matrix} w = $ 100 e^{(0, 08) (3)} = $ 127, 12 \end{matrix} \ početak {poravnanje} & w = \ $ 100e ^ {(0, 08) (3)} = \ $ 127, 12 \\ \ kraj {usklađeno}$ w = $ 100e (0, 08) (3) = 127, 12 $

Diskontiranje do sadašnje vrijednosti (PV) samo je složeno obrnuto , tako da se sadašnja vrijednost buduće vrijednosti (F) neprestano složen brzinom ( r _c) daje:

$\begin{matrix} PV od F primljen u (n) godinama = \frac{F}{e^{r_{c} n}} = F e^{- r_{c} n} \end{matrix} \ početak {poravnanje} & \ tekst {PV od F primljeno u (n) godinama} = \ frac {F} {e ^ {r_c n}} = Fe ^ {-r_c n} \ \ kraj {usklađeno}$ PV od F primljen u (n) godinama = erc nF = Fe-rc n

Na primjer, ako ćete primiti 100 USD u tri godine po stopi od 6%, njegova sadašnja vrijednost izražena je sa:

$\begin{matrix} PV = F e^{- r_{c} n} = ($ 100) e^{- (0, 06) (3)} = $ 100 e^{- 0, 18} ≅ $ 83, 53 \end{matrix} \ početak {poravnanje} & \ tekst {PV} = Fe ^ {-r_c n} = ( $ 100) e ^ {- (0.06) (3)} = \ $ 100 e ^ {-0.18} Kong \ $ 83.53 \\ \ end {usklađeni}$ PV = Fe-rc = n ($ 100) e- (0, 06) (3) = $ 100e-0.18≅ $ 83, 53

Skaliranje kroz više razdoblja

Prikladno svojstvo kontinuirano složenih povrata je što se skalira tijekom više razdoblja. Ako je povrat za prvo razdoblje 4%, a povrat za drugo razdoblje 3%, tada je povrat u dva razdoblja 7%. Razmotrite da godinu započinjemo sa 100 USD, što na kraju prve godine raste na 120 USD, a na kraju druge godine na 150 USD. Stalno složeni prinosi su 18, 23%, odnosno 22, 31%.

$\begin{matrix} \ln (\frac{120}{100}) ≅ 18, 23 % \end{matrix} \ početak {poravnanje} & \ ln \ lijevo ( frac {120} {100} desno) Kong 18.23 \% \\ \ kraj {poravnato}$ ln (100, 12 tisuća) ≅18.23%

$\begin{matrix} \ln (\frac{150}{120}) ≅ 22, 31 % \end{matrix} \ početak {poravnanje} & \ ln \ lijevo ( frac {150} {120} desno) Kong 22.31 \% \\ \ kraj {poravnato}$ ln (120, 15 tisuća) ≅22.31%

Ako ih jednostavno zbrojimo, dobit ćemo 40, 55%. Ovo je povrat iz dva razdoblja:

$\begin{matrix} \ln (\frac{150}{100}) ≅ 40, 55 % \end{matrix} \ početak {poravnanje} & \ ln \ lijevo ( frac {150} {100} desno) Kong 40.55 \% \\ \ kraj {poravnato}$ ln (100, 15 tisuća) ≅40.55%

Tehnički gledano, kontinuirani povratak je dosljedan vremenu. Dosljednost vremena tehnički je zahtjev za vrijednost s rizikom (VAR). To znači da ako je jednopratni povratak normalno raspodijeljena slučajna varijabla, želimo da se i multi-periodične slučajne varijable normalno distribuiraju. Nadalje, višekratni kontinuirano složeni povrat normalno se raspodjeljuje (za razliku od, recimo, prostog povratnog postotka).

Donja linija

Godišnje kamatne stope možemo preformulirati u polugodišnje, tromjesečne, mjesečne ili dnevne kamatne stope (ili stope povrata). Najčešće miješanje je kontinuirano miješanje, što zahtijeva od nas korištenje prirodnog dnevnika i eksponencijalne funkcije, koje se u financijama obično koriste zbog svojih poželjnih svojstava - lako se skalira tijekom više razdoblja i vrijeme je dosljedno.

Sadržaj:

Polugodišnje stope povrata

Kvartalni, mjesečni i dnevni prinosi

Kako djeluje kontinuirano spuštanje

Skaliranje kroz više razdoblja

Donja linija

Izbor urednika