Trajanje makaula i modificirano trajanje uglavnom se koriste za izračunavanje trajanja veza. Trajanje Makaoa izračunava ponderirano prosječno vrijeme prije nego što imatelj obveznice primi novčane tokove obveznice. Suprotno tome, modificirano trajanje mjeri cjenovnu osjetljivost obveznice kada postoji promjena prinosa do dospijeća.
Trajanje makaoa
Trajanje Macaulaya izračunava se množenjem vremenskog razdoblja s periodičnim plaćanjem kupona i dijeljenjem dobivene vrijednosti s 1 plus periodičnim prinosom koji je povećan na vrijeme do dospijeća. Zatim se vrijednost izračunava za svako razdoblje i zbraja. Zatim se dobivena vrijednost dodaje ukupnom broju razdoblja pomnoženom s nominalnom vrijednošću, podijeljenom s 1, plus periodičnim prinosom povećanim na ukupni broj razdoblja. Tada se vrijednost dijeli s trenutnom cijenom obveznice.
Macaulay Trajanje = Trenutna cijena obveznice (∑t = 1n (1 + y) tt ∗ C + (1 + y) nn ∗ M) gdje je: C = periodična isplata kupona = periodični prinosM = vrijednost dospijeća obveznice = trajanje obveznice u razdobljima
Cijena obveznice izračunava se množenjem novčanog toka s 1, minus 1, podijeljenim s 1, plus prinosa do dospijeća, povećanog na broj razdoblja podijeljenih s potrebnim prinosom. Rezultirajuća vrijednost dodaje se nominalnoj vrijednosti, odnosno vrijednosti dospijeća, obveznice podijeljenoj s 1, plus prinosa do dospijeća povećanih na ukupni broj razdoblja.
Na primjer, pretpostavimo da je Macaulayevo trajanje petogodišnje obveznice s vrijednošću dospijeća 5000 USD, a kuponska stopa od 6% je 4, 87 godina ((1 * 60) / (1 + 0, 06) + (2 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 2 + (3 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 3 + (4 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 4 + (5 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 5 + (5 * 5000) / (1 + 0, 06) ^ 5) / (60 * ((1- (1 + 0, 06) ^ -5) / (0, 06)) + (5000 / (1 + 0, 06) ^ 5)).
Izmjenjeno trajanje ove obveznice, s prinosom do dospijeća od 6% za jedno kuponsko razdoblje, iznosi 4, 59 godina (4, 87 / (1 + 0, 06 / 1). Dakle, ako se prinos do dospijeća poveća sa 6% na 7%, trajanje obveznice smanjit će se za 0, 28 godine (4, 87 - 4, 59).
Formula za izračunavanje postotne promjene cijene obveznice je promjena prinosa pomnožena s negativnom vrijednošću modificiranog trajanja pomnoženo sa 100%. Ova rezultirajuća procentna promjena u vezi, za povećanje prinosa od 1%, izračunava se na -4, 59% (0, 01 * - 4, 59 * 100%).
Izmijenjeno trajanje
Izmijenjeno trajanje = (1 + nYTM) Makauleyjevo trajanje gdje je: YTM = prinos do zrelosti
Modificirano trajanje prilagođena je inačica trajanja Macaulaya, koja utječe na promjenu ročnosti do dospijeća. Formula za modificirano trajanje je vrijednost trajanja Macaulaya podijeljena s 1, plus prinos do dospijeća, podijeljeno s brojem kuponskih razdoblja godišnje. Modificirano trajanje određuje promjene u trajanju i cijeni obveznica za svaku postotnu promjenu prinosa do dospijeća.
Na primjer, pretpostavimo da šestogodišnja obveznica ima nominalnu vrijednost od 1000 USD i godišnju stopu kupona od 8%. Trajanje Macaulaya računa se na 4, 99 godina ((1 * 80) / (1 + 0, 08) + (2 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 2 + (3 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 3 + (4 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 4 + (5 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 5 + (6 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 6 + (6 * 1000) / (1 + 0, 08) ^ 6) / (80 * (1- (1 + 0, 08) ^ -6) / 0, 08 + 1000 / (1 + 0, 08) ^ 6).
Izmjenjeno trajanje ove obveznice, s prinosom do dospijeća od 8% za jedno kuponsko razdoblje, iznosi 4, 62 godine (4, 99 / (1 + 0, 08 / 1). Dakle, ako se prinos do dospijeća poveća s 8% na 9%, trajanje obveznice smanjit će se za 0, 37 godine (4, 99 - 4, 62).
Formula za izračunavanje postotne promjene cijene obveznice je promjena prinosa pomnožena s negativnom vrijednošću modificiranog trajanja pomnoženo sa 100%. Ova rezultirajuća promjena postotka u obveznici, za povećanje kamatne stope s 8% na 9%, izračunava se na -4, 62% (0, 01 * - 4, 62 * 100%).
Stoga, ako kamatne stope preko noći porastu 1%, očekuje se da će cijena obveznice pasti 4, 62%.
Izmjenjeno trajanje i razmjene kamata
Modificirano trajanje moglo bi se produljiti za izračunavanje iznosa godina potrebnog je kamatni swap za vraćanje cijene plaćene za swap. Zamjena kamatnih stopa je razmjena jednog niza novčanih tokova za drugi i temelji se na specifikacijama kamatnih stopa između strana.
Modificirano trajanje izračunava se dijeljenjem vrijednosti dolara s promjenom stope razmjene kamatne stope ili serije novčanih tokova na sadašnju vrijednost niza novčanih tokova. Vrijednost se tada množi s 10 000. Modificirano trajanje za svaki niz novčanih tokova može se izračunati i dijeljenjem vrijednosti dolara u bazi promjene bodovne točke niza novčanih vrijednosti s nominalnom vrijednošću i tržišnom vrijednošću. Frakcija se potom množi s 10 000.
Modificirano trajanje obje dionice mora se izračunati za izračunavanje modificiranog trajanja swapa kamatnih stopa. Razlika između dva modificirana trajanja je modificirano trajanje zamjene kamatnih stopa. Formula za modificirano trajanje zamjene kamatnih stopa je modificirano trajanje dijela primanja umanjeno za modificirano trajanje dijela plaćanja.
Na primjer, pretpostavimo da banka A i banka B ulaze u swap kamatnih stopa. Modificirano trajanje burze razmjene računa se kao devet godina, a modificirano trajanje dijela plaćanja plaća se računa kao pet godina. Promijenjeno trajanje zamjene kamatnih stopa rezultiralo je četiri godine (9 godina - 5 godina).
Usporedba trajanja makaula i modificiranog trajanja
Budući da trajanje Macaulaya mjeri prosječno ponderirano vrijeme kada investitor mora zadržati obveznicu sve dok sadašnja vrijednost novčanih tokova obveznice nije jednaka iznosu plaćenom za obveznicu, menadžeri obveznica koji žele upravljati rizikom portfelja obveznica s strategijama imunizacije često ga koriste, Suprotno tome, modificirano trajanje identificira koliko se trajanje mijenja za svaku procentnu promjenu prinosa, istovremeno mjerijući koliko promjena kamatnih stopa utječe na cijenu obveznice. Dakle, modificirano trajanje može pružiti mjeru rizika obveznicama obveznica približivši koliko bi cijena obveznice mogla pasti s povećanjem kamatnih stopa. Važno je napomenuti da cijene obveznica i kamatne stope imaju obrnut odnos jedni s drugima.
